试题

题目：
青果学院如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=
1
2x
的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF·BE=
1
1
．
答案
1

解：∵P的坐标为（a，
1
2a
），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，
1
2a
），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1-
1
2a
，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-
1
2a
，
∴F点的坐标为（1-
1
2a
，
1
2a
），
∵OM=a，
∴AM=1-a，
∴EM=AM=1-a，
∴E点的坐标为（a，1-a），
∴AF2=（-
1
2a
）2+（
1
2a
）2=
1
2a2
，BE2=（a）2+（-a）2=2a2，
∴AF·BE=1．
故答案为：1．
考点梳理
反比例函数综合题．
根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=
2
b，同理BE=
2
a，根据（a，b）是函数y=
1
2x
的图象上的点，因而b=
1
2a
，ab=
1
2
，则即可求出AF·BE．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的特点，图象上所有的点都满足函数解析式．
计算题；压轴题．
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