试题

题目：
青果学院如图，正比例函数y=
1
2
x的图象与反比例函数y=
k
x
（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P
（
5
3
，0）
（
5
3
，0）
，使PA+PB最小．
答案
（
5
3
，0）

解：设A点的坐标为（a，b），则b=
k
a
，
∴ab=k，
∵
1
2
ab=1，
∴
1
2
k=1
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=
2
x
．
青果学院根据题意画出图形，如图所示：
联立得
y=
2
x
y=
1
2
x
，
解得
x=2
y=1
，
∴A为（2，1），
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1）．
令直线BC的解析式为y=mx+n
∵B为（1，2），
将B和C的坐标代入得：
2m+n=-1
m+n=2
，
解得：
m=-3
n=5

∴BC的解析式为y=-3x+5，
当y=0时，x=
5
3
，
∴P点为（
5
3
，0）．
故答案为：（
5
3
，0）．
考点梳理
反比例函数综合题．
根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为函数的系数和△OAM的面积为1可得k=2，即反比例函数的解析式为y=
2
x
．要使PA+PB最小，需作出A点关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于点P，P为所求点．A点关于x轴的对称点C（2，-1），而B为（1，2），故BC的解析式为y=-3x+5，当y=0时，x=
5
3
，即可得出答案．
此题考查了反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、轴对称等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．
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