试题

（2011·武汉模拟）如图，点P在双曲线y=

6

x

上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF-OE的值是．

解：法一：设E（0．y），F（x，0）其中y＜0，x＞0
∵点P在双曲线y=

6

x

上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切
∴P（

6

，

6

）
又∵PF⊥PE
∴由向量垂直性质可得

6

×（

6

-y）+

6

×（

6

-x）=0
∴x+y=2

6

又∵OE=|y|=-y，OF=x
∴OF-OE=x+y=2

6

．
法二：设⊙P与x和y轴分别相切于点A和点B，连接PA、PB．则PA⊥x轴，PB⊥y轴．并设⊙P的半径为R．

∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°，
∵PF⊥PE，
∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE，
又∵PA=PB，
∴△PAF≌△PBE（ASA），
∴AF=BE
∴OF-OE=（OA+AF）-（BE-OB）=2R，
∵点P的坐标为（R，R），
∴R=

6

R

，
解得R=

6

或-

6

（舍去），
∴OF-OE=2

6

．
故答案为：2

6

．