试题

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上，点B（4，2）；过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N
（1）求直线DE的函数表达式和点M、N的坐标；
（2）若函数y=

k

x

(k≠0，k为常数）经过点M，求该函数的表达式，并判定点N是否在图象上；
（3）求△OMN的面积S；
（4）若函数y=

k

x

(k≠0，k为常数）的图象与△BMN没有交点，请直接写出k的取值范围，不需解答过程．

解：（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，根据题意得：

b=3 6k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 1 2

，
则直线DE的解析式是：y=-

1

2

x+3，
令y=2，得到2=-

1

2

x+3，解得：x=2，则M的坐标是（2，2），
令x=4，解得：x=-2+3=1，则N的坐标是（4，1）；

（2）把（2，2）代入y=

k

x

得；k=4，则反比例函数的解析式是：y=

4

x

，
当x=4时，y=1，则N在y=

4

x

的图象上；

（3）S_梯形OCBM=

1

2

（BM+OC）·BC=

1

2

（2+4）·2=6，
S_△OCN=

1

2

OC·CN=

1

2

×4×1=2，
S_△BMN=

1

2

BN·BM=

1

2

×1×2=1，
则△OMN的面积S=6-2-1=3；

（4）经过M的反比例函数的解析式是：y=

4

x

，同时经过点N，则当0＜k＜4时，函数与△BNM没有交点；
经过点B的反比例函数的解析式是：y=

8

x

，则当k＞8时，函数与△BMN没有交点；
当k＜0时，函数图象在二、四象限，则与△BMN没有交点．
故k的范围是：0＜k＜4或k＞8或k＜0．
解：（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，根据题意得：

b=3 6k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 1 2

，
则直线DE的解析式是：y=-

1

2

x+3，
令y=2，得到2=-

1

2

x+3，解得：x=2，则M的坐标是（2，2），
令x=4，解得：x=-2+3=1，则N的坐标是（4，1）；

（2）把（2，2）代入y=

k

x

得；k=4，则反比例函数的解析式是：y=

4

x

，
当x=4时，y=1，则N在y=

4

x

的图象上；

（3）S_梯形OCBM=

1

2

（BM+OC）·BC=

1

2

（2+4）·2=6，
S_△OCN=

1

2

OC·CN=

1

2

×4×1=2，
S_△BMN=

1

2

BN·BM=

1

2

×1×2=1，
则△OMN的面积S=6-2-1=3；

（4）经过M的反比例函数的解析式是：y=

4

x

，同时经过点N，则当0＜k＜4时，函数与△BNM没有交点；
经过点B的反比例函数的解析式是：y=

8

x

，则当k＞8时，函数与△BMN没有交点；
当k＜0时，函数图象在二、四象限，则与△BMN没有交点．
故k的范围是：0＜k＜4或k＞8或k＜0．