试题

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

m

x

的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求∠OAB的度数；
（3）过A点作AE⊥x轴于点E，P是反比例函数y=

m

x

的图象在第四象限上的一动点．当P运动时PO²+PE²-2PC²是否是一个定值？若是求其值，若改变说明理由．

解：（1）根据题意，反比例函数y₂=

m

x

的图象过（-2、1），（1，n）
易得m=-2，n=-2；
则y₁=kx+b的图象也过点（-2、1），（1，2）；
代入解析式可得k=-1，b=-1；
故两个函数的解析式为y₂=-

2

x

、y₁=-x-1；

（2）连接OB、OA，根据反比例函数的对称性，
即有OA=OB=

5

，AB=3

2

，
即有cos∠BAO=

BA

2OA

=

3 10

10

，
即∠BAO≈19°．

（3）根据题意，可得E（-2，0），
又一次函数y₁=-x-1，y₁=0，得x=-1
即C（-1，0）
设点P（x，-

2

x

），即OP²=x²+

4

x2

，PE²=（x+2）²+

4

x2

，PC²=（x+1）²+

4

x2

，
即PO²+PE²-2PC²=x²+

4

x2

+（x+2）²+

4

x2

-2（x+1）²+2

4

x2

，
=x²+（x+2）²-2（x+1）²=2，为定值．
解：（1）根据题意，反比例函数y₂=

m

x

的图象过（-2、1），（1，n）
易得m=-2，n=-2；
则y₁=kx+b的图象也过点（-2、1），（1，2）；
代入解析式可得k=-1，b=-1；
故两个函数的解析式为y₂=-

2

x

、y₁=-x-1；

（2）连接OB、OA，根据反比例函数的对称性，
即有OA=OB=

5

，AB=3

2

，
即有cos∠BAO=

BA

2OA

=

3 10

10

，
即∠BAO≈19°．

（3）根据题意，可得E（-2，0），
又一次函数y₁=-x-1，y₁=0，得x=-1
即C（-1，0）
设点P（x，-

2

x

），即OP²=x²+

4

x2

，PE²=（x+2）²+

4

x2

，PC²=（x+1）²+

4

x2

，
即PO²+PE²-2PC²=x²+

4

x2

+（x+2）²+

4

x2

-2（x+1）²+2

4

x2

，
=x²+（x+2）²-2（x+1）²=2，为定值．