试题

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线y=

1

2x

(x＞0)上的一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．
（1）当点P的坐标为（

3

4

，

2

3

）时，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（2）用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积．

解：（1）∵点E、F都在直线y=-x+1上，
∴y=-

3

4

+1=

1

4

，
∴E（

3

4

，

1

4

），
∴-x+1=

2

3

，
∴x=

1

3

，
∴F（

1

3

，

2

3

），
∴PE=

2

3

-

1

4

=

5

12

，PF=

3

4

-

1

3

=

5

12

，
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△PEF，
=

3

4

×

2

3

-

2

3

×

1

3

×

1

2

-

1

2

×

3

4

×

1

4

-

1

2

×

5

12

×

5

12

，
=

5

24

；

（2）∵点E、F都在直线y=-x+1上，
∴y=-a+1=1-a，
∴E（a，1-a），
∴-x+1=b，
∴x=1-b，
∴F（1-b，b），
∴PE=b-1+a=a+b-1，PF=a-1+b=a+b-1，
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△PEF，
=ab-

1

2

[b（1-b）+a（1-a）+（a+b-1）²]，
=

1

2a

+

1

2b

-

1

2

．
解：（1）∵点E、F都在直线y=-x+1上，
∴y=-

3

4

+1=

1

4

，
∴E（

3

4

，

1

4

），
∴-x+1=

2

3

，
∴x=

1

3

，
∴F（

1

3

，

2

3

），
∴PE=

2

3

-

1

4

=

5

12

，PF=

3

4

-

1

3

=

5

12

，
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△PEF，
=

3

4

×

2

3

-

2

3

×

1

3

×

1

2

-

1

2

×

3

4

×

1

4

-

1

2

×

5

12

×

5

12

，
=

5

24

；

（2）∵点E、F都在直线y=-x+1上，
∴y=-a+1=1-a，
∴E（a，1-a），
∴-x+1=b，
∴x=1-b，
∴F（1-b，b），
∴PE=b-1+a=a+b-1，PF=a-1+b=a+b-1，
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△PEF，
=ab-

1

2

[b（1-b）+a（1-a）+（a+b-1）²]，
=

1

2a

+

1

2b

-

1

2

．