试题

如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=

k

x

与直线y=

3

4

x交于点A、B，且OA=5．
（1）求A、B两点的坐标及OB的长（如图1）
（2）在第一象限双曲线上是否存在点Q，使∠AQB=90°？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（如图2）
（3）如图3，点P是第一象限双曲线上的一动点，AD⊥BP于D点，交y轴于N点，BP交x轴于M点，连MN，试探究BM，AN，MN这三条线段之间有何等量关系，证明你的结论．

解：（1）∵k＞0，且OA与OB是对称的，
∴OB=5，联立方程：y=

k

x

与y=

3

4

x，
解得：A，B坐标分别为：
（

2 3 k

3

，

3 k

2

），（-

2 3 k

3

，-

3 k

2

），
由OA=5得：

12

9

k2+

3

4

k2=25，
解得：k=12，
坐标A（4，3），B（-4，-3）； 

（2）可以转化成双曲线Y=

k

x

与圆x ²+y²=25，在第一象限是否有二个不同实数根．
联立两个方程得：x⁴-25x²+144=0，
解得：x=4或x=3，
x=4时就是点A，
所以存在Q点，坐标为（3，4）； 

（3）结论为：BM²+AN²=MN²．
过点B作BC∥AN，交Y轴于C，连接CM．
∵OA=OB，∠AON=∠BOC，∠ANO=∠BCO，
∴△AON≌BOC，
∴AN=BC，MN=MC，
∵AD⊥BP，
∴BC⊥BP，
∴∠MBC=90°，
∴BC²+BM²=CM²，
即BM²+AN²=MN²．
解：（1）∵k＞0，且OA与OB是对称的，
∴OB=5，联立方程：y=

k

x

与y=

3

4

x，
解得：A，B坐标分别为：
（

2 3 k

3

，

3 k

2

），（-

2 3 k

3

，-

3 k

2

），
由OA=5得：

12

9

k2+

3

4

k2=25，
解得：k=12，
坐标A（4，3），B（-4，-3）； 

（2）可以转化成双曲线Y=

k

x

与圆x ²+y²=25，在第一象限是否有二个不同实数根．
联立两个方程得：x⁴-25x²+144=0，
解得：x=4或x=3，
x=4时就是点A，
所以存在Q点，坐标为（3，4）； 

（3）结论为：BM²+AN²=MN²．
过点B作BC∥AN，交Y轴于C，连接CM．
∵OA=OB，∠AON=∠BOC，∠ANO=∠BCO，
∴△AON≌BOC，
∴AN=BC，MN=MC，
∵AD⊥BP，
∴BC⊥BP，
∴∠MBC=90°，
∴BC²+BM²=CM²，
即BM²+AN²=MN²．