如图1，一次函数y=-2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=frac{k}{x}（x＞0）的图象交于点C，连OC，若S△AOC=2．（1）求反比例函数的解析式；...-青果题库-青果学院

题目：

如图1，一次函数y=-2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象交于点C，连OC，若S_△AOC=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，过点B作BM⊥OB交反比例函数y=

k

x

的图象于点M，点N为反比例函数y=

k

x

的图象上一点，∠ABM=∠BAN，求直线AN的解析式；
（3）如图3，点E在x轴上，点F在y轴上，OE=BF，EF交AB于点G，∠AGE=45°，求点G的坐标．
青果学院

答案

解：（1）∵一次函数y=-2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A﹙2，0﹚，B﹙0，4﹚．
设C（m，n）．
∵S_△AOC=2，
∴

1

2

×2×n=2，
解得n=2．
又n=-2m+4，
∴m=1，
∴C（1，2），
所以反比例函数的解析式为y=

2

x

；

（2）∵A﹙2，0﹚，B﹙0，4﹚，C﹙1，2﹚，
∴C为AB的中点，AO=2，BO=4，AB=2

5

，
∴BC=

5

．如图2，延长BM交AN的延长线于D，
∵∠ABM=∠BAN，
∴DB=DA，
连结DC，则DC⊥BA，
∵BM⊥OB，
∴BM∥OA，
∴∠DBA=∠BAO，
又∠DCB=∠BOA=90°，
∴△DBC∽△BAO，
∴DB：BC=BA：AO，即DB：

5

=2

5

：2，
∴DB=5，
∴D﹙5，4﹚．
设直线AN的解析式为y=mx+b，
∵直线AN过A﹙2，0﹚、D﹙5，4﹚，
∴

2m+b=0

5m+b=4

，

m=

4

3

b=-

8

3

∴直线AN的解析式为y=

4

3

x-

8

3

；

（3）设E（t，0），则F（0，4-t）．
如图3，过点F作FH⊥AB于H．
在Rt△BFH中，∵∠BHF=90°，BF=OE=t，
∴BH=BF·cos∠B=t·

4

2

5

=

2

5

t，FH=BF·sin∠B=t·

2

5

=

5

t，
∵∠AGE=45°=∠HGF，
∴HG=FH=

5

t，
∴BG=BH+HG=

2

5

t+

5

t=

3

5

t．
设G（x，-2x+4），
∵B﹙0，4﹚，
∴BG²=（x-0）²+（-2x+4-4）²=5x²，
∴5x²=（

3

5

t）²，
∴x=

3

5

t（负值舍去），
∴G（

3

5

t，-

6t

5

+4）．
∵E、G、F三点共线，
∴

4-t-0

0-t

=

(4-t)-(-

6t

5

+4)

0-

3

5

t

，
解得t=3，
∴G（

9

5

，

2

5

）．
解：（1）∵一次函数y=-2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A﹙2，0﹚，B﹙0，4﹚．
设C（m，n）．
∵S_△AOC=2，
∴

1

2