试题

题目:
实验与探究
(1)在图1、图2、图3中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标,写出图1、图2、图3中的顶点C的坐标,它们分别是
(5,2)、(e+c,d)
(5,2)、(e+c,d)
(e+c-a,d)
(e+c-a,d)

(2)在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);
青果学院
青果学院
归纳与发现
(3)通过对图1、图2、图3、图4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点C坐标为(m,n)(如图4)时,则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为
m=c+e-a
m=c+e-a
;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为
n=d+f-b
n=d+f-b
(不必证明);
运用与推广
(4)在同一直角坐标系中有双曲线y=-
14
x
和三个点G(-
1
2
c,
5
2
c),S(
1
2
c,
9
2
c)
,H(2c,0)(其中c>0).问当c为何值时,该双曲线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标.
答案
(5,2)、(e+c,d)

(e+c-a,d)

m=c+e-a

n=d+f-b

解:(1)利用平行四边形的性质:对边平行且相等,
得出图1、图2,3中顶点C的坐标分别是:(5,2)、(e+c,d),(c+e-a,d).
故答案为:(5,2)、(e+c,d),(c+e-a,d).

(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1
分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.
在平行四边形ABCD中,CD=BA,
又∵BB1∥CC1
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度.
∴∠EBA=∠FCD.
又∵∠BEA=∠CFD=90°,
∴△BEA≌△CFD.
∴AE=DF=a-c,BE=CF=d-b.
设C(x,y).青果学院
由e-x=a-c,得x=e+c-a.
由y-f=d-b,得y=f+d-b.
∴C(e+c-a,f+d-b).
(此问解法多种,可参照评分)

(3)m=c+e-a,n=d+f-b或m+a=c+e,n+b=d+f.

(4)若GS为平行四边形的对角线,由(3)可得P1(-2c,7c).
要使P1在双曲线上,
则有-14c2=-14,
∴c1=-1(根据其中c>0,舍去),c2=1.此时P1(-2,7).
若SH为平行四边形的对角线,由(3)可得P2(3c,2c),
同理可得c=1,此时P2(3,2)不在双曲线上.
若GH为平行四边形的对角线,由(3)可得(c,-2c),
同理可得c=1,此时P3(1,-2)不在双曲线上.
综上所述,当c=1时,双曲线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形.
符合条件的点有P1(-2,7).
考点梳理
反比例函数综合题.
(1)根据平行四边形的性质:对边平行且相等,得出图2,3中顶点C的坐标分别是(e+c,d),(c+e-a,d);
(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1,分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.在平行四边形ABCD中,CD=BA,根据内角和定理,又∵BB1∥CC1,可推出∠EBA=∠FCD,△BEA≌△CFD.依题意得出AF=DF=a-c,BE=CF=d-b.设C(x,y).由e-x=a-c,得x=e+c-a.由y-f=d-b,得y=f+d-b.继而推出点C的坐标.
(3)在平行四边形ABCD中,CD=BA,同理证明△BEA≌△CFD(同(2)证明).然后推出AF=DF=a-c,BE=CF=d-b.又已知C点的坐标为(m,n),e-m=a-c,故m=e+c-a.由n-f=d-b,得出n=f+d-b.
(4)若GS为平行四边形的对角线,由(3)可得P1(-2c,7c).要使P1在双曲线上,则有-14c2=-14,求出c的实际取值以及P1的坐标,若SH为平行四边形的对角线,由(3)可得P2(3c,2c),同理可得c=1,此时P2(3,2);若GH为平行四边形的对角线,由(3)可得(c,-2c),同理可得c=1,此时P3(1,-2);故综上所述可得解.
此题主要考查了平行四边形的性质,平面直角坐标系内的坐标,平行线的性质等知识.理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键.
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