试题

如图，已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=

k

x

于点E，交BD于点C．
（1）若点A坐标是（8，2），求B点坐标及反比例函数解析式．
（2）过A点作AQ垂直于y轴交于Q点，设P点从D点出发沿D→C→N路线以1个单位长度的速度运动，DC长为4．求△AQP的面积S与运动时间t的关系式，并求出S的最大值．
（3）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

解：（1）∵点A坐标是（8，2），
∴B点坐标为（-8，-2）．
∴k=xy=-8×（-2）=16，
∴y=

16

x

；

（2）过A点作AQ垂直于y轴交于Q点，
设P点从D点出发延D→C→N路线以1个单位长度的速度运动，DC长为4，
∵点A坐标是（8，2），
∴AQ=8，DP=t，QN=6，
∴当0≤t≤4时，
S=

1

2

t×AQ=4t，
当4≤t≤10时，
S=

1

2

×QN×AQ=

1

2

×8×6=24；
∴△AQP的面积S与运动时间t的关系式为：

S=4t(0≤t≤4) S=24(4＜t≤10)

；
∴S的最大值为24；

（3）设B点坐标为（x₁，-

n

2

），代入y=

1

4

x得，-

n

2

=

1

4

x₁，x₁=-2n；
∴B点坐标为（-2n，-

n

2

）．
因为BD∥y轴，所以C点坐标为（-2n，-n）．
因为四边形ODCN的面积为2n·n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面积均为

k

2

，四边形OBCE的面积为4．
则有2n²-k=4   ①；
又因为2n·

n

2

=k，即n²=k  ②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；则解析式为y=

4

x

；
又因为n²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
将M（m，2）代入解析式y=

4

x

，得m=2．故M点坐标为（2，2）；C（-4，-2）；
设直线CM解析式为y=kx+b，则

2k+b=2 -4k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

∴一次函数解析式为：y=

2

3

x+

2

3

．
解：（1）∵点A坐标是（8，2），
∴B点坐标为（-8，-2）．
∴k=xy=-8×（-2）=16，
∴y=

16

x

；

（2）过A点作AQ垂直于y轴交于Q点，
设P点从D点出发延D→C→N路线以1个单位长度的速度运动，DC长为4，
∵点A坐标是（8，2），
∴AQ=8，DP=t，QN=6，
∴当0≤t≤4时，
S=

1

2

t×AQ=4t，
当4≤t≤10时，
S=

1

2

×QN×AQ=

1

2

×8×6=24；
∴△AQP的面积S与运动时间t的关系式为：

S=4t(0≤t≤4) S=24(4＜t≤10)

；
∴S的最大值为24；

（3）设B点坐标为（x₁，-

n

2

），代入y=

1

4

x得，-

n

2

=

1

4

x₁，x₁=-2n；
∴B点坐标为（-2n，-

n

2

）．
因为BD∥y轴，所以C点坐标为（-2n，-n）．
因为四边形ODCN的面积为2n·n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面积均为

k

2

，四边形OBCE的面积为4．
则有2n²-k=4   ①；
又因为2n·

n

2

=k，即n²=k  ②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；则解析式为y=

4

x

；
又因为n²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
将M（m，2）代入解析式y=

4

x

，得m=2．故M点坐标为（2，2）；C（-4，-2）；
设直线CM解析式为y=kx+b，则

2k+b=2 -4k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

∴一次函数解析式为：y=

2

3

x+

2

3

．