试题

如图，点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n为x轴的正半轴上的点，OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，分别以A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n为直角顶点作Rt△OA₁B₁，Rt△A₁A₂B₂，Rt△A₂A₃B₃，…，Rt△A_n-1A_nB_n，它们的面积分别记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，且S₁=1；双曲线恰好经过点B₁，B₂，B₃，…，B_n．
（1）求双曲线和直线A₁B₂对应的函数解析式；
（2）填空：S₁₀=，S_n=；
（3）若直线B₁O交双曲线于点P，在这系列直线：A₁B₂，A₂B₃，…，A_n-1B_n中存在经过点P的直线吗？若存在，直接找出来．

解：（1）由于A₁（1，0）S₁=

1

2

OA1×A1B1=1
∴A₁B₁=2
即：B₁（1，2）
①设双曲线为：y=

k1

x

，代入B₁（1，2）得：k₁=2
∴双曲线为：y=

2

x

②∵A₂坐标为（2，0）
∴B₂横坐标为2，代入双曲线解析式得B₂坐标为：（2，1）
设直线A₁B₂解析式为：y=k₂x+b
代入A₁（1，0）和B₂（2，1）得

k2+b=0 2k2+b=1

解得：

k2=1 b=-1

∴直线A₁B₂对应的函数解析式为y=x-1；

（2）由于A_n坐标为（n，0）即B_n横坐为n
将B_n横坐标代入双曲线解析式中得
Bn(n，

2

n

)
Sn=

1

2

An-1An×AnBn=

1

2

×1×

2

n

=

1

n

∴S10=

1

10

（3）OB₁直线方程为y=2x
由

y=2x y= 2 x

得

x1=1 y1=2

，

x2=-1 y2=-2

，
∴P点坐标为：（-1，-2）
由A_n-1（n-1，0），B_n（n，

2

n

）可得直线A_n-1B_n对应的函数解析式为：
y=

2

n

x+

2

n

-2
即：y=

2

n

(x+1)-2
恒过点（-1，-2），
∴直线A₁B₂，A₂B₃，A_n-1B_n都经过点P（-1，-2）．