试题

题目：
青果学院（2012·北塘区二模）如图，·AOBC的对角线交于点E，反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象经过A、E两点，若·AOBC的面积为9，则k=
3
3
．
答案
3

青果学院解：设A（x，
k
x
），B（a，0），过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AE=EB，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=
1
2
AD=
k
2x
，DF=
1
2
（a-x），OF=OD+DF=
a+x
2
，
∴E（
a+x
2
，
k
2x
），
∵E在双曲线y=
k
x
上，
∴
a+x
2
·
k
2x
=k，
∴a=3x，
∵S·AOBC=OB·AD=9，
∴a·
k
x
=3x·
k
x
=3k=9，
解得：k=3．
故答案为：3．
考点梳理
反比例函数综合题．
设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=
k
x
（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB-OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB-FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为9，列出等式，将a=3x代入可得出k的值．
此题属于反比例函数的综合题，考查了平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．
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