试题

题目：
青果学院（2012·上城区二模）如图，已知直角三角形OAB的直角边OA在x轴上，双曲线y=
1
x
(x＞0)与直角边AB交于点C，与斜边OB交于点D，OD=
1
3
OB，则△OBC的面积为
4
4
．
答案
4

解：作DE⊥OA于E点，如图，青果学院
∵∠OAB=90°，
∴DE∥AB，
∴Rt△OED∽Rt△OAB，
∴DE：AB=OE：OA=OD：OB，
而OD=
1
3
OB，即OB=3OD，
∴AB=3DE，OA=3OE，
设D点坐标为（a，
1
a
），则B点坐标为（3a，
3
a
），
∴A点坐标为（3a，0），C点的横坐标为3a，
而C点在y=
1
x
的图象上，
把x=3a代入y=
1
x
得y=
1
3a
，
∴C点坐标为（3a，
1
3a
），
∴S△OBC=
1
2
OA·BC=
1
2
·3a·（
3
a
-
1
3a
）=4．
故答案为4．
考点梳理
反比例函数综合题．
作DE⊥OA于E点，易得DE∥AB，根据三角形相似的判定得到Rt△OED∽Rt△OAB，则DE：AB=OE：OA=OD：OB，而OD=
1
3
OB，即OB=3OD，可得到AB=3DE，OA=3OE，设D点坐标为（a，
1
a
），则B点坐标为（3a，
3
a
），可分别得到A点坐标为（3a，0），C点坐标为（3a，
1
3a
），然后利用S△OBC=
1
2
OA·BC进行计算即可．
本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数的解析式；运用三角形相似的判定与性质得到线段之间关系．
综合题．
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