试题

如图，直线AB经过A（1，0），B（0，1）两点，动点P在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上运动，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为点M、N，与AB分别交于E、F两点，请尽可能多地找出图中的数量、位置关系．

解：不变关系：
（1）∵P在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上，∴矩形OMPN面积为

1

2

；
（2）∵A（1，0），B（0，1），∴△AOB是等腰直角三角形，∴△BNF∽△FPE∽△AME（均为等腰直角三角形）；
（3）AF·BE=1；
（4）△BOE∽△AFO；
（5）∠EOF=45°；
（6）△EOF的外心为I，则四边形IEPF为正方形；
（7）动点P到直线AB的最短距离为

2- 2

2

；
（8）当P到AB的距离d最短时，正方形IEPF（I为△EOF的外心）的面积最小，等于3-2

2

等．
解：不变关系：
（1）∵P在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上，∴矩形OMPN面积为

1

2

；
（2）∵A（1，0），B（0，1），∴△AOB是等腰直角三角形，∴△BNF∽△FPE∽△AME（均为等腰直角三角形）；
（3）AF·BE=1；
（4）△BOE∽△AFO；
（5）∠EOF=45°；
（6）△EOF的外心为I，则四边形IEPF为正方形；
（7）动点P到直线AB的最短距离为

2- 2

2

；
（8）当P到AB的距离d最短时，正方形IEPF（I为△EOF的外心）的面积最小，等于3-2

2

等．