试题

题目：
青果学院如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且∠AHO=30°．
（1）求k的值；
（2）设点N（1，a）是反比例函数y=
k
x
（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
解：（1）由y=x+1可知A（0，1），即OA=1．
∵tan∠AHO=tan30°=
3
3
，∴OH=
3
．
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为
3
．
∵点M在直线y=x+1上，
∴点M的纵坐标为
3
+1．即M（
3
，
3
+1）．
∵点M在y=
k
x
上，
∴k=
3
×（
3
+1）=3+
3
；

（2）存在．
过点M作M关于y轴的对称点M′，连接M′N，交y轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（1，a）在反比例函数y=
3+
3
x
（x＞0）上，
∴a=3+
3
，即点N的坐标为（1，3+
3
），青果学院
∵M与M′关于y轴的对称，M点坐标为（
3
，
3
+1），
∴M′的坐标为（-
3
，
3
+1），
设直线M′N的解析式为y=ax+b．
由
3+
3
=a+b
3
+1=
3
a+b
，
解得：
a=-
3
-1
b=2
3
+4
，
∴直线M′N的解析式为：y=（-
3
-1）x+2
3
+4，
令x=0，得y=4+2
3
．
∴P点坐标为（0，4+2
3
）．
解：（1）由y=x+1可知A（0，1），即OA=1．
∵tan∠AHO=tan30°=
3
3
，∴OH=
3
．
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为
3
．
∵点M在直线y=x+1上，
∴点M的纵坐标为
3
+1．即M（
3
，
3
+1）．
∵点M在y=
k
x
上，
∴k=
3
×（
3
+1）=3+
3
；

（2）存在．
过点M作M关于y轴的对称点M′，连接M′N，交y轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（1，a）在反比例函数y=
3+
3
x
（x＞0）上，
∴a=3+
3
，即点N的坐标为（1，3+
3
），青果学院
∵M与M′关于y轴的对称，M点坐标为（
3
，
3
+1），
∴M′的坐标为（-
3
，
3
+1），
设直线M′N的解析式为y=ax+b．
由
3+
3
=a+b
3
+1=
3
a+b
，
解得：
a=-
3
-1
b=2
3
+4
，
∴直线M′N的解析式为：y=（-
3
-1）x+2
3
+4，
令x=0，得y=4+2
3
．
∴P点坐标为（0，4+2
3
）．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标，从而可求K的值；
（2）根据一次函数解析式可求N点坐标；作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N与y轴的交点就是满足条件的P点位置．
此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，得出P点位置是解题关键．
找相似题