试题

阅读理解：
当a＞0且x＞0时，因为(

x

-

a

x

)2≥0，所以x-2

a

+

a

x

≥0，从而x+

a

x

≥2

a

（当x=

a

时取等号）．设y=x+

a

x

(a＞0，x＞0)，由上述结论可知：当x=

a

时，y有最小值为2

a

．
直接应用：已知y₁=x（x＞0）与y2=

1

x

(x＞0)，则当x=时，y₁+y₂取得最小值为．
变形应用：已知y₁=x+1（x＞-1）与y2=(x+1)2+4(x＞-1)，求

y2

y1

的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实战演练：
在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（0，-2）．点P是函数y=

6

x

在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC垂直于x轴，PD垂直于y轴，垂足分别为点C、D．设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S．
（1）求S和x之间的函数关系；
（2）求S的最小值，判断此时的四边形ABCD是何特殊的四边形，并说明理由．

解：直接应用：
∵函数y=x+

a

x

（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=

a

时，该函数有最小值为2

a

．
∴函数y₁=x（x＞0）与函数y₂=

1

x

（x＞0），则当x=1时，y₁+y₂取得最小值为2．
故答案为：1，2；

变形应用
已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
则

y2

y1

=

(x+1)2+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

的最小值为：2

4

=4，
∵当（x+1）+

4

x+1

=4时，
整理得出：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
检验：x=1时，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故

y2

y1

的最小值为4，相应的x的值为1；

实战演练：
（1）S=S_△AOD+S_△AOB+S_△BOC+S_△DOC，
=

1

2

×3×

6

x

+

1

2

×2×3+

1

2

×2×x+

1

2

×x×

6

x

，
=x+

9

x

+6．
故x=3时，最大s的最小=2×3+6=12．

（2）当x=3时，CO=3，DO=

6

x

=2，
则DC=

32+22

=

13

，AD=

32+22

=

13

，AB=

32+22

=

13

，BC=

32+22

=

13

，
即DC=AD=AB=BC，
故此时的四边形ABCD是菱形．