试题

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于M、N两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）设直线与x轴交于点A，连接OM、ON，求三角形OMN的面积；
（4）在平面直角坐标系中是否存在一点P，使以P，A，O，N为顶点的四边形为
平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．

解：（1）∵N点坐标为：（-1，-4），
∴xy=k=-1×（-4）=4，
∴反比例函数解析式为：y=

4

x

，
∵M点也在反比例函数图象上，
∴2m=4，
∴m=2，
∴M点坐标为：（2，2），
∵一次函数y=ax+b，
∴

2a+b=2 -a+b=-4

，
解得：

a=2 b=-2

，
∴一次函数解析式为：y=2x-2；

（2）根据图象可得出：当0＜x＜2或x＜-1时，反比例函数的值大于一次函数；

（3）∵一次函数解析式为：y=2x-2，
∴y=0时，x=1，
∴AO=1，
三角形OMN的面积为：S_△OAM+S_△OAN=

1

2

×1×2+

1

2

×1×4=3；

（4）∵AO=1，当AN为对角线，四边形ONP₁A为平行四边形，NP₁=1，且AO∥NP₁，
∴P₁（0，-4），
当AN为边，四边形OP₂NA为平行四边形，NP₂=1，且AO∥NP₂，
∴P₂（-2，-4），
当AN为边，四边形OP₃AN为平行四边形，AP₃=AN=

17

，P₃到x轴距离为4，到y轴距离为2，且AP₃∥ON，
∴P₃（2，4），
综上所述：存在，使以P，A，O，N为顶点的四边形为平行四边形，P点坐标为：（0，-4），（-2，-4），（2，4）．
解：（1）∵N点坐标为：（-1，-4），
∴xy=k=-1×（-4）=4，
∴反比例函数解析式为：y=

4

x

，
∵M点也在反比例函数图象上，
∴2m=4，
∴m=2，
∴M点坐标为：（2，2），
∵一次函数y=ax+b，
∴

2a+b=2 -a+b=-4

，
解得：

a=2 b=-2

，
∴一次函数解析式为：y=2x-2；

（2）根据图象可得出：当0＜x＜2或x＜-1时，反比例函数的值大于一次函数；

（3）∵一次函数解析式为：y=2x-2，
∴y=0时，x=1，
∴AO=1，
三角形OMN的面积为：S_△OAM+S_△OAN=

1

2

×1×2+

1

2

×1×4=3；

（4）∵AO=1，当AN为对角线，四边形ONP₁A为平行四边形，NP₁=1，且AO∥NP₁，
∴P₁（0，-4），
当AN为边，四边形OP₂NA为平行四边形，NP₂=1，且AO∥NP₂，
∴P₂（-2，-4），
当AN为边，四边形OP₃AN为平行四边形，AP₃=AN=

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，P₃到x轴距离为4，到y轴距离为2，且AP₃∥ON，
∴P₃（2，4），
综上所述：存在，使以P，A，O，N为顶点的四边形为平行四边形，P点坐标为：（0，-4），（-2，-4），（2，4）．