试题

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0的一个根为1．
（1）求a的值；
（2）若m、n（m＜n）是此方程的两根，直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数y=

k

x

的图象上，求反比例函数y=

k

x

的解析式．
（3）将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与（2）中的反比例函数y=

k

x

的图象交于点Q，当APQO′的面积为9-

3 3

2

时，求角θ的值．

解：（1）把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得a-1+2-3a+3=0，
解得a=2；
（2）把a=2代入方程得到x²-4x+3=0，解得m=1，n=3，
∵直线l的解析式为y=x+3，则A点坐标为（-3，0），B点坐标为（0，3），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∵原点O与点O′关于AB对称，
∴四边形AOBO′为正方形，
∴O′点的坐标为（-3，3），
把O′（-3，3）代入y=

k

x

得k=-3×3=-9，
∴反比例函数解析式为y=-

9

x

；
（3）如图，设P点坐标为（0，t），延长AO′交直线PQ于E点，
则E点坐标为（-3，t），Q点坐标为（-

9

t

，t），
∵S_{四边形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE，
∴

1

2

·3·t-

1

2

·（t-3）·（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，
∴t=3

3

，
∴OP=3

3

，
∴tan∠PAO=

PO

OA

=

3 3

3

=

3

，
∴∠PAO=60°，
而∠BAO=45°，
∴∠PAB=60°-45°=15°，
即角θ的值为15°．
解：（1）把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得a-1+2-3a+3=0，
解得a=2；
（2）把a=2代入方程得到x²-4x+3=0，解得m=1，n=3，
∵直线l的解析式为y=x+3，则A点坐标为（-3，0），B点坐标为（0，3），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∵原点O与点O′关于AB对称，
∴四边形AOBO′为正方形，
∴O′点的坐标为（-3，3），
把O′（-3，3）代入y=

k

x

得k=-3×3=-9，
∴反比例函数解析式为y=-

9

x

；
（3）如图，设P点坐标为（0，t），延长AO′交直线PQ于E点，
则E点坐标为（-3，t），Q点坐标为（-

9

t

，t），
∵S_{四边形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE，
∴

1

2

·3·t-

1

2

·（t-3）·（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，
∴t=3

3

，
∴OP=3

3

，
∴tan∠PAO=

PO

OA

=

3 3

3

=

3

，
∴∠PAO=60°，
而∠BAO=45°，
∴∠PAB=60°-45°=15°，
即角θ的值为15°．