试题

题目：
青果学院（2013·温州二模）已知，如图双曲线y=
4
x
（x＞0）与直线EF交于点A、点B，且AE=AB=BF，连结AO、BO，它们分别与双曲线y=
2
x
（x＞0）交于点C、点D，则四边形ABCD的面积为
3
2
3
2
．
答案
3
2

青果学院解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴AM∥DH∥BN∥y轴，
设点A的坐标为：（m，
4
m
），
∵AE=AB=BF，
∴OM=MN=BN，
∴点B的坐标为：（2m，
2
m
），
∴S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB-S△OBN=2+
1
2
×（
2
m
+
6
m
）×（2m-m）-2=3，
∵DH∥BN，
∴△ODH∽△OBN，
∴
OD
OB
=
DH
BN
=
OH
ON
，
∵DH·OH=2，BN·ON=4，
∴（
OD
OB
）2=
2
4
=
1
2
，
同理：（
OC
OA
）2=
1
2
，
∴
OC
OA
=
OD
OB
，
∵∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴
S△COD
S△AOB
=(
OD
OB
)2=
1
2
，
∴S△COD=
3
2
，
∴S四边形ABDC=
3
2
．
故答案为：
3
2
．
考点梳理
反比例函数综合题．
首先过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，由双曲线y=
4
x
（x＞0）与直线EF交于点A、点B，且AE=AB=BF，可设点A的坐标为：（m，
4
m
），得到点B的坐标为：（2m，
2
m
），则可由S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB-S△OBN，求得△AOB的面积，易得△ODH∽△OBN，可得（
OD
OB
）2=
2
4
=
1
2
，继而可得
OC
OA
=
OD
OB
，则可证得△COD∽△AOB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．
此题考查了反比例函数中k的几何意义以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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