试题

题目：
青果学院（2010·泸州）在反比例函数y=
10
x
（x＞0）的图象上，有一系列点A1、A2、A3、…、An、An+1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1=
5
5
，S1+S2+S3+…+Sn=
10n
n+1
10n
n+1
．（用n的代数式表示）．
答案
5

10n
n+1

解：∵点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数y=
10
x
（x＞0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，
又点A1的横坐标为2，
∴A1（2，5），A2（4，
5
2
）
∴S1=2×（5-
5
2
）=5；
由题图象知，An（2n，
10
2n
），An+1（2n+2，
10
2n+2
），
∴S2=2×（
10
4
-
10
6
）=
5
3
，
∴图中阴影部分的面积知：Sn=2×（
10
2n
-
10
2n+2
）=
10
n(n+1)
，（n=1，2，3，…）
∵
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∴S1+S2+S3+…+Sn=10（
1
2
+
1
6
+…+
1
n(n+1)
）=10（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…
1
n
-
1
n+1
）=
10n
n+1
．
故答案为：
10n
n+1
．
考点梳理
反比例函数综合题．
由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式，把n=1代入求得S1的值．
此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出An的坐标的表达式，再由此求出Sn的表达式．
压轴题；规律型．
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