试题

题目：
青果学院（2012·苏州）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y=
1
x
图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=-
2
x
图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为
（
1
3
，3）
（
1
3
，3）
．
答案
（
1
3
，3）

解：点A在反比例函数y=
1
x
图象上，设A点坐标为（a，
1
a
），
∵AB平行于x轴，
∴点B的纵坐标为
1
a
，
而点B在反比例函数y=-
2
x
图象上，
∴B点的横坐标=-2×a=-2a，即B点坐标为（-2a，
1
a
），
∴AB=a-（-2a）=3a，AC=
1
a
，
∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，
∴AB+AC=4，即3a+
1
a
=4，
整理得，3a2-4a+1=0，（3a-1）（a-1）=0，
∴a1=
1
3
，a2=1，
而AB＜AC，
∴a=
1
3
，
∴A点坐标为（
1
3
，3）．
故答案为（
1
3
，3）．
考点梳理
反比例函数综合题．
设A点坐标为（a，
1
a
），利用AB平行于x轴，点B的纵坐标为
1
a
，而点B在反比例函数y=-
2
x
图象上，易得B点坐标为（-2a，
1
a
），则AB=a-（-2a）=3a，AC=
1
a
，然后根据矩形的性质得到
AB+AC=4，即3a+
1
a
=4，则3a2-4a+1=0，用因式分解法解得a1=
1
3
，a2=1，而AB＜AC，则a=
1
3
，即可写出A点坐标．
本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；利用矩形对边相等的性质建立方程以及用因式分解法解一元二次方程．
综合题；压轴题．
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