试题

如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象经过点A，B，过点A作x轴的垂线，垂足为点C（1，0）
（1）若△AOC的面积是2，则m的值为；若OB=OA，则点B的坐标是；
（2）在（1）的条件下，AB所在直线分别交x轴，y轴于点M，N，点P在x轴上，PE⊥AB于点E，EF⊥y轴于点F．
①若点P是线段OM上不与O，M重合的任意一点，PM=a，当a为何值时，PM=PF？
②若点P是射线OM上的一点，设P点的横坐标为x，由P，M，E，F四个点组成的四边形的面积面积为y，试写出y与x的函数关系式及x的取值范围．

解：（1）∵点C（1，0），
∴OC=1，
∴△AOC的面积=

1

2

×1×AC=2，
解得AC=4，
∴点C的坐标为（1，4），
∵反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象经过点A，
∴

m

1

=4，
解得m=4，
设点B的横坐标为x，则点B的纵坐标为

4

x

，
∵OB=OA，
∴

12+42

=

x2+( 4 x )2

，
两边平方并整理得，x⁴-17x²+16=0，
解得x₁=1（为点A），x₂=4，
∴点B的坐标为（4，1）；
故答案为：4，（4，1）；

（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=4 4k+b=1

，
解得

k=-1 b=5

，
∴直线AB的解析式为y=-x+5，
∴∠OMN=45°，
令y=0，则-x+5=0，
解得x=5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵PE⊥AB，
∴△PME是等腰直角三角形，
过点E作EG⊥x轴于G，
∵PM=a，
∴PG=EG=

1

2

a，
∵EF⊥y轴，
∴OF=

1

2

a，OP=5-a，
由勾股定理得，PF=

OF2+OP2

=

( 1 2 a)2+(5-a)2

，
∵PM=PF，
∴

( 1 2 a)2+(5-a)2

=a，
整理得，a²-40a+100=0，
解得a₁=20-10

3

，a₂=20+10

3

（舍去）；
故，a=20-10

3

时，PM=PF；

②如图1，若点P在点M的左边，∵P点的横坐标为x，
∴PM=5-x，
∴MG=EG=

1

2

PM=

1

2

（5-x），
∴EF=OG=OM-MG=5-

1

2

（5-x）=

1

2

x+

5

2

，
y=

1

2

（5-x+

1

2

x+

5

2

）×

1

2

（5-x），
=

1

8

x²-

5

2

x+

75

8

，
即y=

1

8

x²-

5

2

x+

75

8

（0＜x＜5），
如图2，若点P在点M的右边时，∵P点的横坐标为x，
∴PM=x-5，
∴MG=EG=

1

2

PM=

1

2

（x-5），
∴EF=OG=OM+MG=5+

1

2

（x-5）=

1

2

x+

5

2

，
y=

1

2

（x-5+

1

2

x+

5

2

）×

1

2

（x-5），
=

3

8

x²-

5

2

x+

25

8

，
即y=

3

8

x²-

5

2

x+

25

8

（x＞5）．