试题

如图，已知：直线y=-2x+b与双曲线y=

k

x

，其中k＞0、且k≠2，相交于第一象限两点P（1，k），Q（

b-2

2

，m）
（1）求m的值；
（2）过P，Q分别作坐标轴的垂线，两垂线相交于点B．垂足为点A和C，是否存在这样的k值．使得△OPQ的面积等于△BPQ的两倍？若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵P（1，k）在直线y=-2x+b上，
∴k=-2b，
∵Q（

b-2

2

，m）在双曲线y=

k

x

上，
∴m=

k

b-2 2

=2；

（2）∵m=

k

b-2 2

=2，
∴点Q的坐标是（

k

2

，2），
∵P（1，k）是AB与双曲线的交点，Q（

k

2

，2）是BC与双曲线的交点，
∴S_△OPQ=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COQ-S_△BPQ
=1×2-

1

2

×1×k-

1

2

×

k

2

×2-

1

2

×（1-

k

2

）（2-k）
=1-

1

4

k²．
假设存在这样的k值，△OPQ的面积等于△BPQ面积的2倍，
则1-

1

4

k²=2×

1

2

×（1-

k

2

）（2-k），
整理得，3k²+8k+4=0，解得k=2（舍去）或k=

2

3

，
∴存在k=

2

3

时，使得△OPQ的面积等于△BPQ的两倍．
解：（1）∵P（1，k）在直线y=-2x+b上，
∴k=-2b，
∵Q（

b-2

2

，m）在双曲线y=

k

x

上，
∴m=

k

b-2 2

=2；

（2）∵m=

k

b-2 2

=2，
∴点Q的坐标是（

k

2

，2），
∵P（1，k）是AB与双曲线的交点，Q（

k

2

，2）是BC与双曲线的交点，
∴S_△OPQ=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COQ-S_△BPQ
=1×2-

1

2

×1×k-

1

2

×

k

2

×2-

1

2

×（1-

k

2

）（2-k）
=1-

1

4

k²．
假设存在这样的k值，△OPQ的面积等于△BPQ面积的2倍，
则1-

1

4

k²=2×

1

2

×（1-

k

2

）（2-k），
整理得，3k²+8k+4=0，解得k=2（舍去）或k=

2

3

，
∴存在k=

2

3

时，使得△OPQ的面积等于△BPQ的两倍．