试题

题目:
青果学院(2012·开平区一模)如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点,与反比例函数y=
k
x
的图象交于C、D两点,分别过C、D两点作CE⊥y轴、DF⊥x轴,垂足分别为E、F,连接CF、DE.有下列四个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等;②△AOB∽△FOE;③∠BAO=45°;④AC=BD.其中正确结论的序号是(  )



答案
A
解:设点D的坐标为(x,
k
x
),则F(x,0).
∵由函数的图象可知:x>0,k>0.
∴S△DFE=
1
2
DF·OF=
1
2
k
x
=
1
2
k,
同理可得S△CEF=
1
2
k,
∴S△DEF=S△CEF,故①正确;
∵若两个三角形以EF为底,则EF边上的高相等,
∴CD∥EF,即AB∥EF,
∴△AOB∽△FOE,故②正确;
∵a、b的值不能确定,
∴无法判断∠BAO的度数,故③错误;
∵四边形ACEF,四边形BDEF都是平行四边形,EF是公共边,
∴AC=EF=BD,
∴BD=AC,④正确;
故正确有3个:①②④.
故选A.
考点梳理
反比例函数综合题.
先证出CD∥EF,可从①问的面积相等入手;△DFE中,以DF为底,OF为高,可得S△DFE=
1
2
|x|·|y|=
1
2
k,同理可求得△CEF的面积也是
1
2
k,因此两者的面积相等;若两个三角形都以EF为底,那么它们的高相同,即E、F到AD的距离相等,由此可证得CD∥EF,然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误.
本题考查的是反比例函数综合题,涉及到反比例函数的性质、三角形的面积公式及平行四边形的判定与性质,先根据题意判断出CD∥EF是解答此题的关键.
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