试题

题目：
（2013·镇江二模）已知点A是双曲线y=
3
x
在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式是（　　）



答案
C
青果学院解：设A（a，
3
a
），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=
3
AO，
∵AO=
a2+(
3
a
)2
，
∴CO=
3a2+
27
a2
，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，即
3
a
a
=
x
-y
，
解得：y=-
a2
3
x，
在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即y2+x2=3a2+
27
a2
，
将y=-
a2
3
x代入，可得：x2=
27
a2
，
故x=
3
3
a
，y=-
a2
3
x=-
3
a，
则xy=-9，
故可得：y=-
9
x
（x＞0）．
故选C．
考点梳理
反比例函数综合题．
设点A的坐标为（a，
3
a
），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，继而得出y与x的函数关系式．
本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．
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