试题

（2012·东营）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=

4

x

的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③④

C
解：①设D（x，

4

x

），则F（x，0），
由图象可知x＞0，
∴△DEF的面积是：

1

2

×|

4

x

|×|x|=2，
设C（a，

4

a

），则E（0，

4

a

），
由图象可知：

4

a

＜0，a＞0，
△CEF的面积是：

1

2

×|a|×|

4

a

|=2，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；

②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；

③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=

4

x

的图象的交点，
∴x+3=

4

x

，
解得：x=-4或1，
经检验：x=-4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（-4，-1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A（-3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中

DF=CE ∠FDC=∠ECD DC=CD

，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正确；

④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正确；
正确的有4个．
故选C．