试题
题目：
已知关于x的一元二次方程（a-3）x
2
-4x-1=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求a的值及此时方程的根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
答案
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a-3）x
2
-4x-1=0有两个相等的实数根，
∴
a-3≠0
16-4(a-3)·(-1)=0
，
∴a=-1，
方程为-4x
2
-4x-1=0，
即4x
2
+4x+1=0，
解得（2x+1）
2
=0，
x
1
=x
2
=-
1
2
．
（2））∵关于x的一元二次方程（a-3）x
2
-4x-1=0有两个不相等的实数根，
∴
a-3≠0
16-4(a-3)·(-1)＞0
，
∴a＞-1且a≠3．
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a-3）x
2
-4x-1=0有两个相等的实数根，
∴
a-3≠0
16-4(a-3)·(-1)=0
，
∴a=-1，
方程为-4x
2
-4x-1=0，
即4x
2
+4x+1=0，
解得（2x+1）
2
=0，
x
1
=x
2
=-
1
2
．
（2））∵关于x的一元二次方程（a-3）x
2
-4x-1=0有两个不相等的实数根，
∴
a-3≠0
16-4(a-3)·(-1)＞0
，
∴a＞-1且a≠3．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式．
（1）关于x的一元二次方程（a-3）x
2
-4x-1=0有两个相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式等于0；
（2）关于x的一元二次方程（a-3）x
2
-4x-1=0有两个不相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式大于0．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根．
计算题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．