试题

题目：
已知关于x的方程（m-1）x2-（2m-1）x+2=0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若方程只有整数根，求整数m的值．
答案
（1）证明：∵△=[-（2m-1）]2-4×（m-1）×2=4m2-12m+9=（2m-3）2≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；

（2）x=
2m-1±
(2m-3)2
2(m-1)
=
2m-1±(2m-3)
2(m-1)
，
x1=
2m-1+2m-3
2(m-1)
=2，x2=
2m-1-2m+3
2(m-1)
=
1
m-1
，
∵方程只有整数根，
∴m-1=±1，
解得：m=0或2．
（1）证明：∵△=[-（2m-1）]2-4×（m-1）×2=4m2-12m+9=（2m-3）2≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；

（2）x=
2m-1±
(2m-3)2
2(m-1)
=
2m-1±(2m-3)
2(m-1)
，
x1=
2m-1+2m-3
2(m-1)
=2，x2=
2m-1-2m+3
2(m-1)
=
1
m-1
，
∵方程只有整数根，
∴m-1=±1，
解得：m=0或2．
考点梳理
根的判别式；一元一次方程的解．
（1）利用根的判别式△=b2-4ac直接进行判断即可；
（2）首先计算出方程的解，再根据方程只有整数根，讨论m的值．
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根．
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