试题
题目：
已知：关于x的一元二次方程
(
m
2
-3m+2)
x
m
2
-5m+6
+(3k+1)x+
k
2
2
+1=0
（1）求m的值；
（2）当m取（1）中值时，求证：无论k取任何值原一元二次方程总没有实数根．
答案
解：（1）根据题意得：
m
2
-5m+6=2 ①
m
2
-3m+2≠0 ②
，
解①得：m=1或m=4，
解②得：m≠1且m≠2，
则m的值为：4；
（2）证明：∵当m=4时，方程为6x
2
+（3k+1）x+
k
2
2
+1=0，
∴△=（3k+1）
2
-4×6×（
k
2
2
+1）=9k
2
+6k+1-12k
2
-24=-3k
2
+6k-23=-3（k-1）
2
-20，
∵（k-1）
2
≥0，
∴-3（k-1）
2
≤0，
∴△=-3（k-1）
2
-20＜0，
∴无论k取任何值原一元二次方程总没有实数根．
解：（1）根据题意得：
m
2
-5m+6=2 ①
m
2
-3m+2≠0 ②
，
解①得：m=1或m=4，
解②得：m≠1且m≠2，
则m的值为：4；
（2）证明：∵当m=4时，方程为6x
2
+（3k+1）x+
k
2
2
+1=0，
∴△=（3k+1）
2
-4×6×（
k
2
2
+1）=9k
2
+6k+1-12k
2
-24=-3k
2
+6k-23=-3（k-1）
2
-20，
∵（k-1）
2
≥0，
∴-3（k-1）
2
≤0，
∴△=-3（k-1）
2
-20＜0，
∴无论k取任何值原一元二次方程总没有实数根．
考点梳理
考点
分析
点评
根的判别式；一元二次方程的定义．
（1）由一元二次方程的定义，可得
m
2
-5m+6=2 ①
m
2
-3m+2≠0 ②
，继而求得m的值；
（2）将m的值代入，可得方程6x
2
+（3k+1）x+
k
2
2
+1=0，即可得△=-3（k-1）
2
-20＜0，即可判定无论k取任何值原一元二次方程总没有实数根．
此题考查了一元二次方程的解的定义与一元二次方程根的判别式的应用．此题难度适中，注意掌握一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的根与△=b
2
-4ac的关系，注意配方法的应用．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．