试题
题目：
已知关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）．
（1）当a、c异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；
（2）当a、c同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件？请你写出一个a、c同号，且有实数根的一元二次方程．
答案
解：（1）∵△=b
2
-4ac，
当a、c异号时，即ac＜0，
∴△=b
2
-4ac＞0，
∴该方程必有两个不相等的实数根；
（2）△=b
2
-4ac，
当ac同号，即ac＞0，
当b
2
-4ac≥0时，即b
2
≥4ac，该方程有实数根；
如方程x
2
+3x+1=0等．
解：（1）∵△=b
2
-4ac，
当a、c异号时，即ac＜0，
∴△=b
2
-4ac＞0，
∴该方程必有两个不相等的实数根；
（2）△=b
2
-4ac，
当ac同号，即ac＞0，
当b
2
-4ac≥0时，即b
2
≥4ac，该方程有实数根；
如方程x
2
+3x+1=0等．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式．
（1）由于a、c异号时，即ac＜0，则△=b
2
-4ac＞0，根据△的意义得到该方程必有两个不相等的实数根；
（2）当b
2
-4ac≥0时，即b
2
≥4ac，该方程有实数根；如a=1，b=3，c=1时，方程有实数根．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b
2
-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
计算题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．