试题
题目：
a，b，c是△ABC的三边长，且关于x的方程b（x
2
-1）-2ax+c（x
2
+1）=0有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形．
答案
证明：由原方程，得
（b+c）x
2
-2ax-b+c=0，
∵关于x的方程b（x
2
-1）-2ax+c（x
2
+1）=0有两个相等的实根，
∴△=4a
2
-4（b+c）（-b+c）=0，
即a
2
-c
2
+b
2
=0，
∴a
2
+b
2
=c
2
，
∴这个三角形是直角三角形．
证明：由原方程，得
（b+c）x
2
-2ax-b+c=0，
∵关于x的方程b（x
2
-1）-2ax+c（x
2
+1）=0有两个相等的实根，
∴△=4a
2
-4（b+c）（-b+c）=0，
即a
2
-c
2
+b
2
=0，
∴a
2
+b
2
=c
2
，
∴这个三角形是直角三角形．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式；勾股定理的逆定理．
先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后根据根的判别式△=b
2
-4ac=0证明．
此题主要考查了勾股定理的逆定理和根的判别式，需要熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；（3）△＜0·方程没有实数．
证明题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．