试题
题目：
若对任何实数a，关于x的方程x
2
-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．
答案
解：∵关于x的方程x
2
-2ax-a+2b=0都有实数根，
∴△=4a
2
-4（-a+2b）=4a
2
+4a-8b，
对任何实数a，有△=4a
2
+4a-8b≥0，
所以△′≤0，即4
2
-4×4×（-8b）≤0，
解得b≤
-
1
8
．
所以实数b的取值范围为b≤
-
1
8
．
解：∵关于x的方程x
2
-2ax-a+2b=0都有实数根，
∴△=4a
2
-4（-a+2b）=4a
2
+4a-8b，
对任何实数a，有△=4a
2
+4a-8b≥0，
所以△′≤0，即4
2
-4×4×（-8b）≤0，
解得b≤
-
1
8
．
所以实数b的取值范围为b≤
-
1
8
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式．
先计算关于x的方程x
2
-2ax-a+2b=0的△，把计算出的结果看作二次函数，开口向上，并且恒有△≥0，即函数图象不在x轴下方，因此得到△′≤0，解关于b的不等式即可．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了二次函数与一元二次方程的关系．
函数思想．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．