试题

实数a取什么值时，关于x的方程a（x²+1）=x（a²+1），
（1）有一个实数根？并求出它的根；
（2）有两个实数根？并求出它的根；
（3）有两个相等的实数根？并求出它的根．

解：（1）ax²-（a²+1）x+a=0，
当a=0时原方程化为-x=0，解得x=0；
（2）当a≠0，△=（a²+1）²-4·a·a=（a²-1）²≥0，
x=

a2+1±(a2-1)

2a

解得x₁=a，x₂=

1

a

；
（3）当a≠0，△=（a²+1）²-4·a·a=0，
（a²-1）²=0，解得a=±1，
当a=1时，x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1；
当a=-1时，-x²-2x-1=0，解得x₁=x₂=-1．
解：（1）ax²-（a²+1）x+a=0，
当a=0时原方程化为-x=0，解得x=0；
（2）当a≠0，△=（a²+1）²-4·a·a=（a²-1）²≥0，
x=

a2+1±(a2-1)

2a

解得x₁=a，x₂=

1

a

；
（3）当a≠0，△=（a²+1）²-4·a·a=0，
（a²-1）²=0，解得a=±1，
当a=1时，x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1；
当a=-1时，-x²-2x-1=0，解得x₁=x₂=-1．