试题
题目：
以a，b，c为三边的直角三角形的周长的数值与面积的数值相等，且a，b，c为自然数，求证：关于x的方程x
2
-（a+b+c）x+abc=0无实数根．
答案
证明：∵x
2
-（a+b+c）x+abc是关于a，b，c的轮换对称式，
∴不妨设a，b为直角边，c为斜边，
则根据题意有：a
2
+b
2
=c
2
，a+b+c=
1
2
ab，
∴a+b=
1
2
ab-c，两边平方得：a
2
+2ab+b
2
=
1
4
a
2
b
2
-abc+c
2
，
∴abc=
1
4
a
2
b
2
-2ab，
又∵△=（a+b+c）
2
-4abc=
1
4
a
2
b
2
-4（
1
4
a
2
b
2
-2ab）=
1
4
ab（32-3ab），
而a，b，c为自然数，
则a，b的最小值为3，4，即ab≥12，
∴32-3ab＜0，
即△＜0，
所以关于x的方程x
2
-（a+b+c）x+abc=0无实数根．
证明：∵x
2
-（a+b+c）x+abc是关于a，b，c的轮换对称式，
∴不妨设a，b为直角边，c为斜边，
则根据题意有：a
2
+b
2
=c
2
，a+b+c=
1
2
ab，
∴a+b=
1
2
ab-c，两边平方得：a
2
+2ab+b
2
=
1
4
a
2
b
2
-abc+c
2
，
∴abc=
1
4
a
2
b
2
-2ab，
又∵△=（a+b+c）
2
-4abc=
1
4
a
2
b
2
-4（
1
4
a
2
b
2
-2ab）=
1
4
ab（32-3ab），
而a，b，c为自然数，
则a，b的最小值为3，4，即ab≥12，
∴32-3ab＜0，
即△＜0，
所以关于x的方程x
2
-（a+b+c）x+abc=0无实数根．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式；勾股定理．
要证明关于x的方程x
2
-（a+b+c）x+abc=0无实数根，只有证明△＜0即可．而△=（a+b+c）
2
-4abc，根据a，b，c为三边的直角三角形的周长的数值与面积的数值相等（不妨设a，b为直角边，c为斜边），可以通过代数式变形得到abc=
1
4
a
2
b
2
-2ab，把△变为（a+b+c）
2
-4abc=
1
4
a
2
b
2
-4（
1
4
a
2
b
2
-2ab）=
1
4
ab（32-3ab），最后根据a，b，c为自然数，找到最小的直角边即可证明△＜0．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b
2
-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了代数式的变形能力、勾股定理以及三角形的面积公式．
证明题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．