试题

题目：
已知关于x的方程(x+
a
x
)2-5x-
5a
x
=-6有两个根相等，求a的值．
答案
解：设x+
a
x
=y，则y2-5y=-6，解得y1=2，y2=3，
∴x2-2x+a=0①，x2-3x+a=0②，
若①有两个相等的实根，则△1=4-4a=0，得a1=1；
若②有两个相等的实根，则△2=9-4a=0，得a2=
9
4
．
若①②有公共根，则x2-2x+a=x2-3x+a，得x=0，不合题意，舍去．
故a=1或
9
4
．
解：设x+
a
x
=y，则y2-5y=-6，解得y1=2，y2=3，
∴x2-2x+a=0①，x2-3x+a=0②，
若①有两个相等的实根，则△1=4-4a=0，得a1=1；
若②有两个相等的实根，则△2=9-4a=0，得a2=
9
4
．
若①②有公共根，则x2-2x+a=x2-3x+a，得x=0，不合题意，舍去．
故a=1或
9
4
．
考点梳理
解分式方程；根的判别式．
通过换元可得到两个关于x的含参数a的一元二次方程，利用判别式即可求出a的值．
本题考查了换元法解方程．运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．
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