试题

题目：
若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程：4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．
答案
证明：由题得，△=16（a2+b2+c2）2-4×4×3（a2b2+b2c2+c2a2）=0，
所以有，a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0，2（a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2）=0，
得到（a2-b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2=0，
所以a2-b2=0且b2-c2=0且c2-a2=0，即有a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
证明：由题得，△=16（a2+b2+c2）2-4×4×3（a2b2+b2c2+c2a2）=0，
所以有，a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0，2（a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2）=0，
得到（a2-b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2=0，
所以a2-b2=0且b2-c2=0且c2-a2=0，即有a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
考点梳理
根的判别式；因式分解的应用．
由方程有两个相等的实数根，得△=16（a2+b2+c2）2-4×4×3（a2b2+b2c2+c2a2）=0，得a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0，两边乘以2，然后进行配方得，（a2-b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2=0，所以有a=b=c，即△ABC是等边三角形．
本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，没有实数根．也考查了因式分解的能力和几个非负数的和为0的性质．
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