试题
题目：
当a，b为何值时，方程x
2
+2（1+a）x+3a
2
+4ab+4b
2
+2=0有实数根？
答案
解：若方程x
2
+2（1+a）x+3a
2
+4ab+4b
2
+2=0有实数根，则△≥0，
∵△=4（1+a）
2
-4（3a
2
+4ab+4b
2
+2），
=4a
2
+8a+4-12a
2
-16ab-16b
2
-8，
=-8a
2
-16ab-16b
2
+8a-4，
∴-8a
2
-16ab-16b
2
+8a-4≥0，
即-2a
2
-4ab-4b
2
+2a-1≥0，
-a
2
+2a-1-a
2
-4ab-4b
2
≥0，
（a-1）
2
+（a+2b）
2
≤0．
因为（a-1）
2
+（a+2b）
2
≥0，
∴（a-1）
2
+（a+2b）
2
=0，
∴a-1=0且a+2b=0，
所以a=1，b=-
1
2
．
所以当a=1，b=-
1
2
时，方程x
2
+2（1+a）x+3a
2
+4ab+4b
2
+2=0有实数根．
解：若方程x
2
+2（1+a）x+3a
2
+4ab+4b
2
+2=0有实数根，则△≥0，
∵△=4（1+a）
2
-4（3a
2
+4ab+4b
2
+2），
=4a
2
+8a+4-12a
2
-16ab-16b
2
-8，
=-8a
2
-16ab-16b
2
+8a-4，
∴-8a
2
-16ab-16b
2
+8a-4≥0，
即-2a
2
-4ab-4b
2
+2a-1≥0，
-a
2
+2a-1-a
2
-4ab-4b
2
≥0，
（a-1）
2
+（a+2b）
2
≤0．
因为（a-1）
2
+（a+2b）
2
≥0，
∴（a-1）
2
+（a+2b）
2
=0，
∴a-1=0且a+2b=0，
所以a=1，b=-
1
2
．
所以当a=1，b=-
1
2
时，方程x
2
+2（1+a）x+3a
2
+4ab+4b
2
+2=0有实数根．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式．
由方程有实数根，得到△≥0，即∵△=4（1+a）
2
-4（3a
2
+4ab+4b
2
+2）=-8a
2
-16ab-16b
2
+8a-4≥0，再经过变形得，（a-1）
2
+（a+2b）
2
≤0，所以有a-1=0且a+2b=0，由此可求出a，b的值．
题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了几个非负数的和为0的性质以及代数式变形的能力．
计算题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．