试题
题目：
m为给定的有理数，k为何值时，方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的根总为有理根？
答案
解：方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的判别式
△=16（1-m）
2
-4（3m
2
-2m+4k）=4m
2
-24m+16-16k，
∵方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的根总为有理根，
∴△为完全平方式，
∴4m
2
-24m+16-16k=4（m
2
-6m+9）-20-16k，
∴-20-16k=0时，△是完全平方式，
解得k=-
5
4
，
所以m为给定的有理数，k=-
5
4
时，方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的根总为有理根．
解：方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的判别式
△=16（1-m）
2
-4（3m
2
-2m+4k）=4m
2
-24m+16-16k，
∵方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的根总为有理根，
∴△为完全平方式，
∴4m
2
-24m+16-16k=4（m
2
-6m+9）-20-16k，
∴-20-16k=0时，△是完全平方式，
解得k=-
5
4
，
所以m为给定的有理数，k=-
5
4
时，方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的根总为有理根．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式；完全平方式．
先计算出方程x
2
+4（1-m）x+3m
2
-2m+4k=0的△，△=16（1-m）
2
-4（3m
2
-2m+4k）=4m
2
-24m+16-16k，要原方程的根总为有理根，则△为完全平方式，即4m
2
-24m+16-16k是完全平方式时，-20-16k=0时总有有理根，求解即可得到k的值．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根是有理根的条件为判别式是完全平方数．
计算题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．