试题

题目：
青果学院在矩形ABCD中，AD=2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F，若
FC
长为
2
3
π，则阴影面积为
3
2
3
-
2
3
π
3
2
3
-
2
3
π
．
答案
3
2
3
-
2
3
π

解：设∠CBF的度数为n°，
由l=
nπr
180
，得n=
180l
πr
．
所以n=
180×
2
3
π
π×2
=60，即∠CBF=60°．
∴∠ABF=30°，
在Rt△ABF中，AB=BF×cos∠ABF=
3
，AF=
BF2-AB2
=1，
所以FD=AD-AF=1．S梯形DFBC=
1
2
（DF+BC）×CD=
3
2
3
，
所以S阴影=S梯形DFBC-S扇形BCF=
3
2
3
-
2
3
π．
故答案为：
3
2
3
-
2
3
π．
考点梳理
扇形面积的计算；矩形的性质；弧长的计算．
根据弧长公式l=
nπr
180
，即可求得∠CBF的度数，进而求得∠ABF=30°，再根据直角三角形的性质可以求得AB、AF的长，从而求得DF的长．则阴影部分的面积等于梯形BCDF的面积减去扇形BCF的面积．
此题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式以及直角三角形的性质，30°所对的直角边是斜边的一半，求出∠CBF的度数是解题关键．
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