试题

（2007·天水）以边长为a的正方形ABCD的对角线AC长为半径，以点A为圆心作弧交AB边的延长线于点E，交AD边的延长线于点F，得扇形AECF，把扇形AECF的面积称为正方形ABCD面积的扩展；再以线段AE为一边作正方形AEGH，以对角线AG的长为半径，点A为圆心画弧交AE边的延长线于点M，交AH边的延长线于点N，得扇形AMGN，则扇形AMGN的面积是正方形AEGH面积的扩展，按此法依次进行到如图所示，叫做正方形ABCD面积的第一次扩展．按这种方法可进行第二次扩展，直到第n次扩展
（1）求第一次扩展中各扇形面积之和S₁；
（2）求第二次扩展中各扇形面积之和S₂（第二次扩展的第一个正方形是以第一次扩展的最后一个扇形半径为边长的正方形）；
（3）求第n次扩展中各扇形面积之和S_n．

解：（1）根据勾股定理可知半径为

2

a；
第一次扩展半径为2a；
第三次扩展的半径为2

2

a；
第四次为4a；
根据扇形面积可知第一次扩展中各扇形面积之和
S₁=

90π×2a2

360

+

90π×4a2

360

+

90π×8a2

360

+

90π×16a2

360

=

15

2

a²π．

（2）第二次扩展中各扇形的半径分别是

32

a，8a，

128

a，16a，
根据扇形面积可得第二次扩展中各扇形面积之和
S₂=

90π×32a2

360

+

90π+64a2

360

+

90π+128a2

360

+

90π+256a2

360

=120πa²．

（3）从第一次和第二次中要找到规律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．
所以第n次扩展中各扇形面积之和S_n=

15

2

16^n-1πa²．
解：（1）根据勾股定理可知半径为

2

a；
第一次扩展半径为2a；
第三次扩展的半径为2

2

a；
第四次为4a；
根据扇形面积可知第一次扩展中各扇形面积之和
S₁=

90π×2a2

360

+

90π×4a2

360

+

90π×8a2

360

+

90π×16a2

360

=

15

2

a²π．

（2）第二次扩展中各扇形的半径分别是

32

a，8a，

128

a，16a，
根据扇形面积可得第二次扩展中各扇形面积之和
S₂=

90π×32a2

360

+

90π+64a2

360

+

90π+128a2

360

+

90π+256a2

360

=120πa²．

（3）从第一次和第二次中要找到规律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．
所以第n次扩展中各扇形面积之和S_n=

15

2

16^n-1πa²．