试题

题目：
如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，其中
CD
、
DE
、
EF
、…的圆心青果学院依次为A、B、C…．当渐开线延伸开时，形成三个扇形S1、S2、S3和一系列扇环S4、S5、…若正△ABC的边长为1．
（1）求出曲线CDEFG的总长度．
（2）求出扇环S4的面积．
答案
解：（1）∵正△ABC的边长为1．
∴BD=2，CE=3，AF=4，
∴曲线CDEFG的总长度
120π×(1+2+3+4)
180
=
20π
3
；

（2）S4=
120π×42
360
-
120π×12
360
=5π．
解：（1）∵正△ABC的边长为1．
∴BD=2，CE=3，AF=4，
∴曲线CDEFG的总长度
120π×(1+2+3+4)
180
=
20π
3
；

（2）S4=
120π×42
360
-
120π×12
360
=5π．
考点梳理
扇形面积的计算；等边三角形的性质；弧长的计算．
（1）曲线CDEFG的总长度是4段弧的长度，圆心角都是120°，半径分别为1，2，3，4，据弧长公式计算即可；
（2）扇环S4的面积是两个扇形的面积的差．
本题考查了弧长的计算、扇形面积的计算以及等边三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
规律型．
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