试题

（2011·嘉兴一模）如图，已知正方形ABCD的边长为6，以AB为直径的⊙O交对角线AC于点F，E是⊙O上一点．
（1）求∠AEF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）若AE=5，求∠AFE的正弦值．

解：（1）连接OF．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠CAB=45°，
∵OF=OA，∠AFO=∠CAB=45°，
∴∠AOF=90°，
∴∠AEF=

1

2

∠AOF=45°；

（2）∵AB=BC=6，
∴OF=OA=r=3，∠FOB=∠AOF=90°，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF=

1

2

AB×BC-

1

2

AO×OF-

90πr2

360

，
=

1

2

×6²-

1

2

×3²-

π×32

4

，
=

27

2

-

9π

4

；

（3）连接BE，可得∠AFE=∠ABE
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠AFE=sin∠ABE=

AE

AB

=

5

6

．
解：（1）连接OF．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠CAB=45°，
∵OF=OA，∠AFO=∠CAB=45°，
∴∠AOF=90°，
∴∠AEF=

1

2

∠AOF=45°；

（2）∵AB=BC=6，
∴OF=OA=r=3，∠FOB=∠AOF=90°，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF=

1

2

AB×BC-

1

2

AO×OF-

90πr2

360

，
=

1

2

×6²-

1

2

×3²-

π×32

4

，
=

27

2

-

9π

4

；

（3）连接BE，可得∠AFE=∠ABE
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠AFE=sin∠ABE=

AE

AB

=

5

6

．