试题

（2011·三元区质检）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥BC于点F．
（1）请直接写出三条与AC有关的正确结论；
（2）若∠D=30°，AC=2，求圆中阴影部分的面积．

解：（1）AC²=AB²-CB²，AC²=AE²+CE²，AC=AD；

（2）连接CO，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴∠CAO=60°，
∵AO=CO，
∴△ACO是等边三角形，
∴CO=AC=2，
∴BC=

AB2-AC2

=2

3

，
∵BO=2，∠B=30°，
∴FO=1，
∴S_△OCB=

1

2

×FO×BC=

1

2

×1×2

3

=

3

，
∵∠B=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOC=120°，
∴S_扇形BOC=

120π×2  2

360

=

4

3

π；
∴圆中阴影部分的面积为：

4

3

π-

3

．
解：（1）AC²=AB²-CB²，AC²=AE²+CE²，AC=AD；

（2）连接CO，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴∠CAO=60°，
∵AO=CO，
∴△ACO是等边三角形，
∴CO=AC=2，
∴BC=

AB2-AC2

=2

3

，
∵BO=2，∠B=30°，
∴FO=1，
∴S_△OCB=

1

2

×FO×BC=

1

2

×1×2

3

=

3

，
∵∠B=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOC=120°，
∴S_扇形BOC=

120π×2  2

360

=

4

3

π；
∴圆中阴影部分的面积为：

4

3

π-

3

．