试题

（2007·聊城）某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积．已知公园A，B分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮1608m²和1200m²出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：

	公园A		公园B
	路程（千米）	运费单价（元）	路程（千米）	运费单价（元）
甲地	30	0.25	32	0.25
乙地	22	0.3	30	0.3

（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）

（1）分别求出公园A，B需铺设草坪的面积；（结果精确到1m²）
（2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．

解：（1）设公园A，B需铺设草坪的面积分别为S₁，S₂
根据题意，得S₁=62×32-62×2-32×2+2×2=1800．
设图2中圆的半径为R，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为

25

2

，
所以Rcos30°=

25

2

，有R=

25

3

．
于是，S2=65×25-2×

120

360

×(

25

3

)2π-2×

1

2

×

25

3

×

25

2

≈1008．
所以公园A，B需铺设草坪的面积分别为1800m²和1008m²．

（2）设总运费为y元，公园A向甲地购买草皮xm²，向乙地购买草皮（1800-x）m²．（6分）
由于公园A，B需要购买的草皮面积总数为1800+1008=2808（m²），甲、乙两地出售的草皮面积总数为1608+1200=2808（m²）．
所以，公园B向甲地购买草皮（1608-x）m²，向乙地购买草皮1200-（1800-x）=（x-600）（m²）．
于是，有

0≤x≤1608 0≤1800-x≤1200

所以600≤x≤1608．
又由题意，得y=30×0.25x+22×0.3·（1800-x）+32×0.25·（1608-x）+30×0.3·（x-600）=1.9x+19344．
因为函数y=1.9x+19344随x的增大而增大，
所以，当x=600时，有最小值y=1.9×600+19344=20484（元）．
因此，公园A在甲地购买600m²，在乙地购买1800-600=1200m²；
公园B在甲地购买1608-600=1008（m²）．
此时，运送草皮的总运费最省．
解：（1）设公园A，B需铺设草坪的面积分别为S₁，S₂
根据题意，得S₁=62×32-62×2-32×2+2×2=1800．
设图2中圆的半径为R，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为

25

2

，
所以Rcos30°=

25

2

，有R=

25

3

．
于是，S2=65×25-2×

120

360

×(

25

3

)2π-2×

1

2

×

25

3

×

25

2

≈1008．
所以公园A，B需铺设草坪的面积分别为1800m²和1008m²．

（2）设总运费为y元，公园A向甲地购买草皮xm²，向乙地购买草皮（1800-x）m²．（6分）
由于公园A，B需要购买的草皮面积总数为1800+1008=2808（m²），甲、乙两地出售的草皮面积总数为1608+1200=2808（m²）．
所以，公园B向甲地购买草皮（1608-x）m²，向乙地购买草皮1200-（1800-x）=（x-600）（m²）．
于是，有

0≤x≤1608 0≤1800-x≤1200

所以600≤x≤1608．
又由题意，得y=30×0.25x+22×0.3·（1800-x）+32×0.25·（1608-x）+30×0.3·（x-600）=1.9x+19344．
因为函数y=1.9x+19344随x的增大而增大，
所以，当x=600时，有最小值y=1.9×600+19344=20484（元）．
因此，公园A在甲地购买600m²，在乙地购买1800-600=1200m²；
公园B在甲地购买1608-600=1008（m²）．
此时，运送草皮的总运费最省．