试题

题目：
青果学院（2012·密云县二模）如图，在边长为1的等边△ABC中，若将两条含120°圆心角的
AOB
、
BOC
及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC面积的比是
1
3
或1：3
1
3
或1：3
．
答案
1
3
或1：3

青果学院解：可以推出点O就是弧AOB，弧BOC的中点，
画出弧AOB的圆心D，连接DO交AB于点E，
∵∠ADB=120°，AB=1，
∴∠EDB=60°，
∴sin60°=
BE
BD
=
1
2
r
=
3
2
．
可得弧AOB的半径r=
3
3
．
设阴影部分的上半部分面积是S1，下半部分的面积是S2，
则S1=2[π（
3
3
）2×
1
6
-（
3
3
）2×
3
4
]=
π
9
-
3
6
，
弧AOB在三角形ABC的部分，的面积为：
T=π（
3
3
）2×
1
3
-（
3
3
）2×
3
4
=
π
9
-
3
12
；
所以S2=△ABC面积-2T+S1=
3
4
-2（
π
9
-
3
12
）+（
π
9
-
3
6
）=
3
4
-
π
9
；
∴S=S1+S2=
3
12
，
S与△ABC面积的比=
3
12
：
3
4
=
1
3
；
故答案为：
1
3
或1：3．
考点梳理
扇形面积的计算；等边三角形的性质．
欲求S与△ABC面积的比，可以推出点O就是弧AOB，弧BOC的中点，画出弧AOB的圆心D，连接DO，再根据等边三角形的性质，圆周角定理及弧长公式求解．
此题主要考查了扇形的面积计算，可以再作出弧AC，即可看出它们之间的关系．
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