试题

题目：
青果学院（2002·聊城）如图，A、B、C、D是圆周上的四个点，
AB
+
CD
=
AC
+
BD
，且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是
15.4
15.4
（结果保留三个有效数字）．
答案
15.4

青果学院
解：∵
AB
+
CD
=
AC
+
BD
，
∴弧AB，CD就是一个半圆弧，
则B、O、D′就在一条直线上，而且BD′是一直径，
∴∠D′AB=90°，弧AD′=弧CD，
∴AD′=CD=4，
在Rt△CAB中，由勾股定理得：BD′=
82+42
=4
5
，
∴OB=2
5
，
∴阴影部分的面积=
1
2
S⊙O-S△D′AB
=π×（2
5
）2×
1
2
-
1
2
×4×8
=15.4．
考点梳理
扇形面积的计算；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
易得弧AB，CD是一个半圆弧，我们将C点转到与A点重合处，那么O、B、D′就在一条直线上，而且是一直径，所以阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积，然后依面积公式计算即可．
本题的关键是作辅助线，从图中看出阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积．
压轴题．
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