试题

题目：
青果学院如图，以正△ABC的AB边为直径画⊙O，分别交AC、BC于点D、E，已知AB=6cm，求弧DE的长及阴影部分的面积．
答案
青果学院解：连接OD，OE，AE
∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴AE⊥BC，BE=OB，∠B=60°，
∴OE平行且相等AD，OA=OE，
∴四边形OAED是菱形，
∴∠DOE=∠AOD=∠OBE=60°，
∵AB=6cm
∴OD=OE=BE=3cm，
∴AE=
62-32
=3
3
（cm）
∴△OBE中底边BE上的高以及△AOD中底边OD上的高都为：
3
3
2
cm，
∴弧DE的长=
60
180
π·3=π，
S阴影=S△OBE+S△AOD+S扇形ODE=
1
2
×3×
3 
3
2
+
1
2
×3×
3 
3
2
+
60π·9
360
=
9 
3
2
+
3
2
π．
青果学院解：连接OD，OE，AE
∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴AE⊥BC，BE=OB，∠B=60°，
∴OE平行且相等AD，OA=OE，
∴四边形OAED是菱形，
∴∠DOE=∠AOD=∠OBE=60°，
∵AB=6cm
∴OD=OE=BE=3cm，
∴AE=
62-32
=3
3
（cm）
∴△OBE中底边BE上的高以及△AOD中底边OD上的高都为：
3
3
2
cm，
∴弧DE的长=
60
180
π·3=π，
S阴影=S△OBE+S△AOD+S扇形ODE=
1
2
×3×
3 
3
2
+
1
2
×3×
3 
3
2
+
60π·9
360
=
9 
3
2
+
3
2
π．
考点梳理
扇形面积的计算；等边三角形的性质．
连接OD，OE，AE，根据等边三角形的性质先求的圆的半径和弧ED对应的圆心角∠DOE=60°，再分别求出弧DE的长，根据S阴影=S△OBE+S△AOD+S扇形ODE求出阴影部分的面积．
本题主要考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，是利用面积之间的和差关系求阴影部分面积的典型题例．此类题目通过分析可知阴影部分的面积正好是2个等边三角形和一个圆心角是60°的扇形的面积和，求出小等边三角形的边长和扇形的圆心角是解题的关键．
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