试题

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AD=8，∠ABC=∠DAC．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

解：（1）连接CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=∠ABC=∠DAC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=AD·sin45°=8×

2

2

=4

2

．

（2）连接OC，
∵∠AOC=2∠D=90°，∠CAD=45°，
∴△AOC是等腰直角三角形，且OA=

1

2

AD=4，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

90×π×42

360

-

1

2

×4×4=4π-8．
解：（1）连接CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=∠ABC=∠DAC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=AD·sin45°=8×

2

2

=4

2

．

（2）连接OC，
∵∠AOC=2∠D=90°，∠CAD=45°，
∴△AOC是等腰直角三角形，且OA=

1

2

AD=4，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

90×π×42

360

-

1

2

×4×4=4π-8．