试题

题目：
青果学院（2012·十堰）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为
（3π-
9
3
4
）
（3π-
9
3
4
）
cm2．
答案
（3π-
9
3
4
）

青果学院解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴AC=
1
2
AB=6cm，∠A=60°
∵E是AB的中点，
∴CE=
1
2
AB，
则△ACE是等边三角形．
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∵AC是直径，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=30°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴
CF
=
AD
，
连接OD，作OG⊥CD于点G，
则∠COD=120°，OG=
1
2
OC=
3
2
，CG=
1
2
CD=
3
3
2
．
∴阴影部分的面积为：S扇形COD-S△COD=
120π×32
360
-
1
2
×
3
2
×
3
3
2
=3π-
9
3
4
．
故答案是：3π-
9
3
4
．
考点梳理
扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．
易证∠BCE=∠ACD，则根据弦切角定理可以得到
AD
与弦AD围成的弓形的面积等于
CF
与弦CF围成的弓形的面积相等，则阴影部分的面积等于半圆的面积减去直角△ACD的面积，再减去弓形的面积，据此即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，以及圆的面积的计算，正确理解：
AD
与弦AD围成的弓形的面积等于
CF
与弦CF围成的弓形的面积相等是关键．
压轴题．
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