试题

题目：
青果学院（2013·十堰）如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当
2
≤r＜2时，S的取值范围是
π
2
-1≤S＜
4π
3
-
3
π
2
-1≤S＜
4π
3
-
3
．
答案
π
2
-1≤S＜
4π
3
-
3

青果学院解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=
CD2-CG2
=
r2-1
．
设∠DCG=θ，则由题意可得：
S=2（S扇形CDE-S△CDG）=2（
θπr2
360
-
1
2
×1×
r2-1
）=
θπr2
180
-
r2-1
，
∴S=
θπr2
180
-
r2-1
．
当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．
当r=
2
时，DG=
r2-1
=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S=
45π(
2
)2
180
-
(
2
)2-1
=
π
2
-1；
若r=2，则DG=
r2-1
=
3
，∵CG=1，故θ=60°，
∴S=
60π22
180
-
22-1
=
4π
3
-
3
．
∴S的取值范围是：
π
2
-1≤S＜
4π
3
-
3
．
故答案为：
π
2
-1≤S＜
4π
3
-
3
．
考点梳理
扇形面积的计算；等边三角形的性质．
首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点．解题关键是求出S的函数表达式，并分析其增减性．
压轴题．
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